RC 直列回路の微分方程式 (変数分離法)
ここでは RC 直列回路に直流電圧源をつないだときの過渡状態に関する次の微分方定式を解きます。
\[
E - RC \frac{dv_c}{dt} - v_c = 0
\]
もとの RC 直列回路については「RC 直列回路」を、 ラプラス変換で解く方法については「RC 直列回路の微分方程式 (ラプラス変換)」をみてください。
さて、それでは計算していきましょう。
変数分離法で解くため式を整理すると、次のように書けます。
\[
\begin{aligned}
\frac{dv_c}{dt} &= \frac{1}{RC} (E-v_c) \\
\frac{dv_c}{E-v_c} &= \frac{dt}{RC}
\end{aligned}
\]
両辺積分すると次のようになります。
\[
\begin{aligned}
\int \frac{dv_c}{E-v_c} &= \frac{1}{RC} \int dt
\end{aligned}
\]
\(k = E-v_c\) とおくと、\(v_c\) は \(E\) を越えないので \(E-v_c \gt 0\) です。また \(dv_c = -dk\) なので、A を積分定数とすると
\[
\begin{aligned}
\int \frac{dk}{k} &= - \frac{1}{RC} \int dt \\
\ln k &= - \frac{1}{RC} t + A \\
\ln (E - v_c) &= - \frac{1}{RC} t + A
\end{aligned}
\]
\(\ln\) は \(e\) を底とする対数、自然対数です。\(e\) を上記の右辺乗すると \(E-v_c\) になるので、
\[
\begin{aligned}
E - v_c &= e^{- \frac{1}{RC} t + A} \\
v_c &= E - e^{- \frac{1}{RC} t + A}
\end{aligned}
\]
ここで、初期状態 \(t=0\) でコンデンサの電圧 \(v_c=0\) なので、それらを代入すると次のようになります。
\[
\begin{aligned}
0 &= E - e^{A} \\
e^{A} &= E
\end{aligned}
\]
従って、
\[
\begin{aligned}
v_c &= E - e^{- \frac{1}{RC} t + A} \\
&= E - e^A \cdot e^{- \frac{1}{RC} t} \\
&= E - E \cdot e^{- \frac{1}{RC} t} \\
&= E \Big( 1- e^{- \frac{1}{RC} t} \Big)
\end{aligned}
\]
これで \(v_c\) がわかりました。